230, 231

230, 231

ఈ రెండు వరుస సంఖ్యలు. ప్రైమ్ సంఖ్యలు కావు. కాని ఈ రెండు వరుస సంఖ్యలకు ప్రత్యేక లక్షణం ఒకటి ఉంది.
230 = 2 x 5 x 23
231 = 3 x 7 x 11
వీటికి గల కారణాంకాలు అన్నీ ప్రైమ్ సంఖ్యలే.
ఇవి కారణాంకాలు అన్నీ ప్రైమ్ సంఖ్యలుగా కలిగిన తొలి వరుస సంఖ్యలు.
” తొలి” అన్నాం కాబట్టి ఇటువంటి లక్షణం కలిగిన వేరే వరుస సంఖ్యలు ఉన్నాయనే కదా అర్థం.
అవి – 285, 286.

285 = 3 x 5 x 19
286 = 2 x 11 x 13

ఇలాంటి గుణం కలిగిన మూడు వరుస సంఖ్యలు కూడ సంఖ్యామానంలో ఉన్నాయి.
ఒక ఉదాహరణ:
1309, 1310, 1311

1309 = 7 x 11 x 17
1310 = 2 x 5 x 131
1311 = 3 x 19 x 23

Advertisements

1/ 989,999

989,999

దీని విలోమం : 1/ 989,999
= 0. 000, 001, 001, 002, 003, 005, 008, 013, 021, 034, 055, 089, 144, 233, 377, 610……

దీని లోని సున్నాలను తొలగించి సంఖ్యలను సర్దితే వచ్చే శ్రేణి ఇది:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610……

ఓహ్. అద్భుతం!
అవును, Fibonacci sequence కూడ ఇదే !

* ******. *********. *********. *************

Fibonacci శ్రేణి గురించి మరి కొన్ని విశేషాలు.
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181….

ఒక సంఖ్య మరో సంఖ్యను భాగించే ఏవైనా రెండు సంఖ్యలను తీసుకుందాం.
5, 15, (15 ని 5 భాగిస్తుంది)
ఇప్పుడు Fibonacci series లోని 5 వ term ( F5) = 5.
అలాగే 15 వ term (F15) = 610.
F15 / F5 = 610/5 = 124. ( F15 is divisible by F5)

మరో ఉదాహరణను తీసుకందాం.
8, 16 ( 16 ని 8 భాగిస్తుంది)
8 వ term F8 = 21
16వ term F16 = 987
Is F16 is divisible by F8?
Yes. ( 987/21 = 47)

*****. ********. **************

Fibonacci series లో 233 ఒక prime number.
ఈ శ్రేణిలో ఇది F13, గమనించారో లేదో 13 కూడ prime number.
అలాగే 1597 కూడ Prime number. అది F 17.
దాని subscript number 17 కూడ prime number కావడం చూశారు కదా!
అయితే ఆరంభంలో ఒక్క మినహాయింపు తప్ప ఈ rule పనిచేస్తుంది.
3 prime సంఖ్య అయినప్పటికీ అది F4.
F4 లోని subscript number 4 ప్రైమ్ కాదు.

మరొక విషయ కూడ ఉంది. దీని విపర్యయం అన్ని వేళలా పని చేయదు.
F19 లోని subscript number 19, ప్రైమ్ సంఖ్యే. కాని శ్రేణిలోని F19 = 4181.
4181 ప్రైమ్ కాదు. ( 37 x 113= 4181)
So, all Fibonacci prime numbers have Fibonacci prime number subscript,
but not all Fibonacci prime number subscripts yield a Fibonacci prime number.
Got it?

శేషప్రశ్నలు – సమాధానం

శేష ప్రశ్నలు – సమాధానం

శేషప్రశ్న అనగానే చిన్నప్పుడు చదివిన శరత్ బాబు నవల, అందులో కమల పాత్ర గుర్తుకు రావడం సహజం. కాని ఇప్పుడు ఈ శేషప్రశ్నలు గణితానికి సంబంధించినవి. గణితం అనగానే శుష్కమైన విషయంగానో లేక తలనొప్పి తెచ్చే సమస్య గానో భావించకండి. చెప్పబోయే విషయం గమ్మత్తైనది. ఆశ్చర్యం కలిగించేది కూడ. మానవ మస్తిష్కం సునిశితంగామానవ ప్రకృతిని అధ్యయనం చేసి అనేక రహస్యాలను చెప్పే విధంగానే, మనిషి బుద్ధి శుష్కమైన అంకెలను కిందా మీద వేసి వాటి గొప్ప తనాన్ని ప్రత్యేక వ్యక్తిత్వాలను ఆవిష్కరిస్తుంది.
అసలు విషయానికి వస్తాను. జోర్డాన్ దేశంలో Gerasa ( Jerasa) నగరంలో క్రీ. శ. రెండో శతాబ్దంలో ఒక ఒక గణితబ్రహ్మ ఉండేవాడు. అతని పేరు నికోమాషస్( Nicomachus). ఆ గణిత బ్రహ్మకు అంకెలంటే వల్లమాలిన అభిమానం. అతి తెలివిగలవాడు. దారిని వచ్చి పోయేవారిని కొన్ని ప్రశ్నలు వేసి వారిని ఉబ్బితబ్బిబ్బలు చేస్తూండేవాడు. తమ మనసులోని విషయాన్ని అతడు అంత నిక్కచ్చిగా ఎలా చెప్పగలుగు తున్నాడా అని జనం ఆశ్చర్య పోయేవారట.
అతను వేసే ప్రశ్నలు ఏమిటో చెప్తాను. ఈ గణిత పొడుపు కథను మీరూ మీ మిత్రుల నడిగితే వారిని మీరూ ఆశ్చర్య చకితులను చెయ్యవచ్చు.

మీ మిత్రుణ్ణి 10 కి 99 కి మధ్య ఏదైనా రెండంకెల సంఖ్యను మనసులో తలచుకొమ్మనండి. ఆ సంఖ్యను 3 తో భాగిస్తే మిగిలే శేషం చెప్పమనండి. అలాగే 5 తో భాగిస్తే మిగిలే శేషమూ, 7 తో భాగిస్తే మిగిలే శేషమూ చెప్పమనండి. ఈ మూడు శేషాలు తెలుసుకొని వాటి ఆధారంగా మీరు మీ మిత్రుడు తన మనసులో తలచుకున్న సంఖ్యని బయటపెట్టగలిగారను కోండి – నిజంగా అది అబ్బురం కలిగించే విషయమే కదా. ఈ సమస్యకు చిట్కా కనిపెట్టినవాడు Nicomachous. అదెలాగో ఉదాహరణ పూర్వకంగా చెప్తాను.

మీ మిత్రుడు 66 తలచు కున్నాడను కుందాం.

ఆ సంఖ్యను 3, 5, 7 లతో భాగించి శేషాలెంతో చెప్ప్పమంటే అతను వరుసగా
0, 1, 3 అని చెప్తాడుకదా. అప్పుడు ఆ శేషాలను వరుసగా 70, 21 , 15 లతో గుణించి కూడండి.
( 70 x 0 + 21 x 1 + 15 x 3) = 66. అదే మీ మిత్రుడు మనసులో తలచుకున్న సంఖ్య కదా.

మరో ఉదాహరణ:
తలచుకున్న సంఖ్య; 37

దీనిని వరుసగా 3, 5, 7 లతో భాగిస్తే మిగిలే శేషాలు వరుసగా 1, 2, 2 కదా. వీటిని వరుసగా 70, 21, 15 లతో గుణించి వాటి లబ్ధాలను కలుపుదాం. ( 70 x 1 + 21 x 2 + 15 x 2) = 142. ఇది మూడంకెల సంఖ్య, పైగా 99 ని దాటిన సంఖ్య. అందుకని ఇందులోంచి 105 ని మైనస్ చేయమంటాడు మన గణితబ్రహ్మ నికోమాషస్ . అప్పుడు 142 – 105 = 37, ఇది తలచుకున్న సంఖ్యే కదా.

చివరగా ఆఖరి ఉదాహరణ:
తలచుకున్న సంఖ్య: 89.

3, 5, 7 లతో భాగిస్తే వరుసగా 2, 4, 5 శేషాలు వచ్చాయి.
ఇప్పుడు వరుసగా 70, 21, 15 లతో గుణించి వాటి లబ్ధాలను కూడితే
( 70 x 2 + 21 x 4 + 15 x 5 ) = 299.
ఇందులోంచి 105 ని ఒకమారు మైనస్ చేస్తే సరిపోదు. రెండుసార్లు చేయాలి.
అంటే 299 -105 -105 = 89, తలచుకున్న సంఖ్య.

105 సంఖ్య కు చాల ప్రాముఖ్యం ఈ పొడుపు కథలో – గుర్తుంచుకోవాలి.

మీరు మీ పిల్లలతోనో లేక మీ మిత్రులతోనో ఈ పొడుపుకధను వేసి చూడండి.
(క్లూ చెప్పకండి మజా ఉండదు)

మీరు నన్ను మాత్రం ఈ (70, 21, 15 ) ల గురించి గాని 105 గురించిగాని వివరాలు అడగొద్దు.
అవి నికోమాషస్ కి మాత్రమే తెలుసు. నాకు చెప్పలేదు , Sorry.

17

17

నెలలో 17 వ రోజు ఈ రోజు. సంవత్సరంలో ప్రతి రోజుకు ఏదో ప్రత్యేకత ఉండనే ఉంటుంది. చరిత్రను తిరగేస్తే లోకోపకారానికో, లోక హానికో కృషి చేసిన అనేకుల పుట్టిన రోజో లేక గిట్టిన రోజో కూడ అయివుంటుంది.
అయితే గణితంలో సంఖ్యగా 17 కి గల విశిష్టత ఏమిటో క్లుప్తంగా చెప్పాలనే ఈ ప్రయత్నం.
17 ఒక prime number. అంటే 1, 17 తప్ప మరో కారణాంకాలు ( factors) లేని మొండి సంఖ్య.
కాని ఈ 17ఒక్కటే గణితంలో రెండు prime numbers లను x^y + y^x రూపంలో వ్యక్త పరచగలిగిన సంఖ్య.
ఆ ప్రైమ్ సంఖ్యలు 2, 3.
2^3 + 3^2 (= 2x2x2 + 3×3 = 8 + 9) = 17
ఇక్కడ గమనింప వలసినది 2, 3, 17 : ఈ మూడూ ప్రైమ్ సంఖ్యలే.

17 కు ఘనం ( 17^3) = 17x17x17 = 4913.
కాని 4913 లోని అంకెల మొత్తం చూడండి , 4+9+1+3= 17 .
17 ని తిరగేస్తే 71 . 71 కూడ ప్రైమ్ నంబరే. అలాగ ఉండే జంట ప్రైమ్ సంఖ్యలను emirp pairs అంటారట. ఏం లేదు, prime ని త్రిప్పి రాస్తే emirp .

ఇప్పుడు 17 యొక్క విలోమాన్ని పరీక్షిద్దాం.
1/17 = 0. 0588235294117647…..
అలా వ్రాసుకుంటూ పోతూంటే 16 అంకెల తరువాత మళ్లీ ఆ పదహారు సంఖ్యలు పునరావృతం అవుతూనే ఉంటాయి అంతం లేకుండా. ఒక ప్రైమ్ సంఖ్యని విలోమం చేస్తే ఇలా వరుసగా 16 అంకెల తర్వాత మళ్లీ 16 అంకెలు పునరావృతం అయ్యే ప్రవృత్తి ఈ 17 కి మాత్రమే ఉందిట.
(7 యొక్క విలోమంలో కేవలం ఆరు అంకెల తర్వాత మరల అవే పునరావృత మౌతాయి).

ఈ విలోమంలోని 16 అంకెలను రెండు భాగాలు చేసి కూడితే ఏమి వస్తుందో చూద్దాం.
05882352 + 94117647 = 999999999

మానవుని జిజ్ఞాస ఎంత వైవిధ్యభరితమో తెలుసు కోవడానికి, అంకెలలోని నిగూఢ రహస్యాలను చూసి విస్తుపోవడానికి మాత్రమే ఈ పనికిమాలిన ప్రయాస. అంతే.

18

18 ( అష్టాదశం)

18 సంఖ్య నిజానికి మన భారతీయులకు, తెలుగువారికి ఎంతో ప్రాముఖ్యమైన సంఖ్య. భగవద్గీత, మహాభారతం, రామాయణం, పురాణాలు, ఉపపురాణాలు, శక్తి పీఠాలు చివరికి మన కావ్యాలలోని వర్ణనలు – అన్నీ ఈ అష్టాదశంతో అనేక విధాలుగ ముడిపడి వున్నాయి. ఆర్షధర్మంలో 18 కి అంతటి స్థానం ఉంది. వాటిని సోదాహరణంగా చెప్పడానికి FB లోని ఈ ఆవరణ సరిపోదు.

రెండవ ప్రపంచ యుద్ధకాలంలో తమ రహస్య కోడ్ లో 18 ని విరివిగా వాడేవారట బ్రిటిష్ సైన్యాధికారులు. ఇంగ్లీషు అక్షరమాలలో 1 = A: 8 = H. Adolf Hitler పేరుకి బదులుగా.

చూసారా, మనిషి 18 దాటితేనే మేజరు. ఓటరు కూడ.
మనకే కాదు వివిధ మతాలవారికి కూడ 18 మీద అమిత విశ్వాసం. యూదులు ఎవరినైనా దానం ఇచ్చేటపుడు ఆ మొత్తం 18 యొక్క గుణిజాలలోనే ఇస్తారట. .. ఇలా పలు మతవిశ్వాశాలు ఈ 18 సంఖ్య తో ముడివడి వున్నాయి.

కేవలం గణితంలో 18 సంఖ్య కున్న ప్రాముఖ్యత గురించి చెప్పాలన్నా, అనేక పారిభాషిక పదాలను దాటవలసి వస్తుంది. వాటిని సోదాహరణంగా వివరించకపోతే చెప్పినది ఎవరికీ అర్థం కాకుండా పోతుంది. ఆఖ్యానం కంటె ఉపాఖ్యానాలు, పిట్టకథలు ఎక్కువై పోతాయి. చదివే వారికి గణితం విసుగు కలగకుండా చెప్పగలగడం కొంచెం కష్టమే. అయినా ప్రయత్నిస్తాను.

9 సంఖ్యకున్న సత్ లక్షణాలన్నీ 18 కి ఉన్నాయి.

గణితంలో కొన్ని పరిపూర్ణ సంఖ్యలు ( perfect numbers) ఉన్నాయి.
6 సంఖ్య కి కారణాంకాలు : 1 , 2 , 3. వాటిని కూడితే మళ్లీ ఆరు వస్తుంది. ఒక సంఖ్యకు గల కారణాంకాల మొత్తం ఆ సంఖ్యకు సమానమైనప్పుడు ఆసంఖ్యను పరిపూర్ణ సంఖ్య అంటారు. అలాంటిదే మరో పరిపూర్ణ సంఖ్య 28. ( 1+2+4+7+14 = 28).
అయితే 18 కి గల కారణాంకాలు : 1 , 2 , 3, 6, 9. వీటిలో మూడింటిని 3, 6, 9 లను కూడితే 18 వస్తుంది. అందువల్ల ఇది semi- perfect number మాత్రమే. Perfect number కాదు.

రెండు ప్రైమ్ సంఖ్యలు 2, 3 కలయిక తో ( p.q^2 రూపంలో) ఏర్పడే మొదటి సంఖ్య అంటే 2×3^2 = 18.

ఈ సంఖ్యలను విభిన్న గణితజ్ఞులు వివిధ రకాలుగా వివిధ శ్రేణులుగా విభజించుకుంటూ పోయారు.
ఇందాక చెప్పినట్లు కాక ఏదైనా సంఖ్యకు గల కారణాంకాల మొత్తం ఆ సంఖ్య విలువని మించిపోతే ఆ సంఖ్యను abundant number అంటారు. ఉదాహరణకు 12 ని చూద్దాం.
12 యొక్క కారణాంకాలు 1,2,3,4, 6 . వాటి మొత్తం ( 1+2+3+4+6)= 16 . అంటే 16విలువ 12 ని మించిపోయింది.
కనుక 12 ఒక abundant number. 12 ఈ శ్రేణిలో మొదటిది.
16 abundant number కాదు. కారణం దాని కారణాంకాల మొత్తం 1+2+4+8 = 15. (15 < 16).
18 ని పరీక్షిద్దాం: కారణాంకాల మొత్తం ( 1+2+3+6+9) = 21, 21>18 .
అందువల్ల 18 మరో abundant number,
ఇలాంటి సంఖ్యలు 21 మాత్రమే 100 లోపు అంకెలలో ఉన్నాయి.
వాటి శ్రేణి (10, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60,66,70,72,78,80,84, 88, 90,96)

18 ఒక abundant సంఖ్యల కుటుంబంలో పుట్టిందని, అందులో 18 కి రెండోస్థానమని చెప్పడానికి
ఇంత వివరణ చెప్పవలసి వచ్చింది.

మరో గమత్తు ని చూడండి.
18 కి గల కారణాంకాల మొత్తం (1+2+3+6+9) = 21
21 కి గల కారణాంకాల మొత్తం ( 1+3+7) = 11
11 కి గల కారణాంకాల మొత్తం (1) = 1
1 కి గల కారణాంకాల మొత్తం = 0
( 18, 21, 11, 1, 0) ఈ శ్రేణిని aliquot sequence (ఆలీకత్ వరుస) అంటారు.
11 ఉన్న ఈ శ్రేణి కి ఆద్యురాలు 18 సంఖ్యట.

17×17 = 289 ( ఇది 17 కి వర్గం)
అయితే దీని aliquot విలువల మొత్తం గణిద్దాం.
289 కి 1, 17 మాత్రమే కారణాంకాలు . వాటి మొత్తం 18.

18 aliquot మొత్తం గా కలిగిన వర్గసంఖ్య 289 మినహా మరోటి లేదట.

మన భారతీయ గణితజ్ఞుడు D. K. Kaprekar ‘ కొన్ని ప్రత్యేక లక్షణాలుగల సంఖ్యలను గుర్తించి వాటికి ‘Harshsd numbers’ అని పేరు పెట్టారు . Harshad అంటే ‘joy giving’ .( హర్షదలు)
మరి హర్షదలంటే ఏమిటో వివరించాలి గదా.
ఒక సంఖ్యలోని అంకెల మొత్తం ఆ సంఖ్యని నిశ్శేషంగా భాగిస్తే ఆ అంకెను హర్షదం అంటారు.
24 ఒక సంఖ్య.
24 లోని 2, 4 లను కలిపితే (2+4)= 6
6 తో 24 నిశ్శేషంగా భాగింపబడుతోంది కాబట్టి 24 సంఖ్య హర్షద మవుతుంది.
ఈ విధంగా 18 కూడ ఒక హర్షదమే.
18/ (1+8) = 2

Edouard Lucas అనే గణితజ్ఞుడు Fibonacci series కి అనుబంధంగా మరొక సంఖ్య శ్రేణిని ప్రతిపాదించాడు. దానికి Lucas series / sequence అంటారు.
ఈ రెండు శ్రేణులు కొత్త గణితానికి దారులు వేసి bank account numbers, credit and debit కార్డ్ ల గుర్తింపులను క్షణాలలో పసిగట్టగలిగే విధానానికి దోహదపడుతున్నాయిట.

Lucas series:
2, 1 , 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123,…………
ఇందులో మొదటి అంకె 2 “ఆటలో అరటి పండు” లాంటిది. ఇది శ్రేణిలో ఉంది కాని లేదు..
చూడండి , ఈ శ్రేణిలో ప్రతి సంఖ్య దానికి ముందున్న రెండు సంఖ్యల మొత్తంగా ఉంటుంది.
Lo = 2
L1 = 1
L2 = (2+1) = 3
L3 = (1+3) = 4
L4 =(3+4) = 7
L5 = (4+7) = 11
L6= (7+11)= 18
L7. L8 ………..

ఈ వివరణ 18 Lucas శ్రేణిలో 6 వ సంఖ్య సుమా అని చెప్పడానికే.

అంతేకాదు, ఈ 18 heptagonal series 1, 7, ’18’, 34, 55, 81….. శ్రేణిలో కూడ ఉంటుంది.
ఈ శ్రేణిని వివరించడానికి సప్తభుజుల diagrams అవసరమౌతాయి. Face గ్రంథ విస్తరణభీతికి లోనై ఈ వివరణ ను విరమించుకుంటున్నాను.
18 ప్రాశస్త్యానికి ఎన్నో ఉన్నవాటిలో ఇవి కొన్ని చిన్న ఉదాహరణలు మాత్రమే.
మరిన్ని వివరించడానికి ప్రయత్నించి ఈ పోస్టుని మరింత జటిలం చేయడం భావ్యం కాదు.
ఉపాఖ్యానం:
1 నుండి 200 వరకూ గల అంకెలలో హర్షదాలు 50 మాత్రమే ఉన్నాయి.
ఉదాహరణకు :
6804 ఒక Multiple Harshsad Number (MHN)
6+8+0+4= 18
6804/18 = 378
3+7+8= 18
378/18 = 21
21/ (2+1) = 7
7/7 = 1
అంతటితో ఆగక, తీరిక చేసుకొని మెదడుకి పని కల్పించి ఓ మేథమెటీషియన్ ఒకపెద్ద MHN ని పసికట్టాడు.
అది : 2,016,502,858,579,884, 466,176.
దీనిలోని అంకెలను కూడితే వచ్చే మొత్తం 108, ఓపికుంటే పరీక్షించి చూడండి అది హర్షదమో, కాదో!

19

19

19 సంఖ్య గురించి సంక్షిప్తంగా.

మన కందరకు తెలిసిన విషయమే ఇది. 19 మరి యే యితర సంఖ్యతో భాగింపబడని prime number అని.
ప్రైమ్ సంఖ్యల శ్రేణిలో 8 వ స్థానం 19 సంఖ్య ది. ( 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ……)

అలాంటి మొండి సంఖ్య అయినా దీనికున్న వ్యక్తిత్వం దీనికుంది. 1 నుండి 10 వరకు ఉండే అంకెలతో దీన్ని గుణించినప్పుడు అది ప్రదర్శించే విన్యాసాలను పరికిద్దాం.

19 x 1 = 19 and 1+9 = 10 and 1+0 = 1
19 x 2 = 38 and 3+8 = 11 and 1+1 = 2
19 x 3 = 57 and 5+7 = 12 and 1+2 = 3
19 x 4 = 76 and 7+6 = 13 and 1+3 = 4
19 x 5 = 95 and 9+5 = 14 and 1+4 = 5
19 x 6 = 114 and 11 + 4 = 15 and 1+5 = 6
19 x 7 = 133 and 13 +3 = 16 and 1+6 = 7
19 x 8 = 152 and 15+2 = 17 and. 1+ 7 = 8
19 x 9 = 171 and 17+1 = 18 and 1+8 = 9
19 x19 = 190 and 19+O = 19 and 1+9 = 10

19 ప్రత్యేకత ఇంతమాత్రమే అనుకుంటే పొరబాటు. దీని ప్రత్యేకత అంతా దీని విలోమంలో ఉంది.
1/19 విలువను గమనించండి.

1/19 = 0. 052631578947368421….

ఈ విధంగా 18 అంకెలు ప్రసారం జరిగి మరల అవే 18 అంకెలు నిరంతరంగా పునః ప్రసారం జరుగుతూ వస్తాయి. 17 యొక్క విలోమంలో మాత్రం కేవలం 16 సంఖ్యల ప్రసారమే జరుగుతూ వస్తుంది.
గరిష్టంగా 18 అంకెల నిడివి గల అంకెలు పునః పునః ప్రసారమవడం 19 విలోమంలోనే సాధ్యపడుతుంది.
ఈ విలువను గణించడానికి భాగహార పద్ధతి నో లేక కేలిక్యులేటర్ నో ఆశ్రయింపక తప్పదు అన్పించడం సహజం. కాని ఈ విలువను సులభంగా ఎలా గణించ వచ్చో 70 ఏళ్ల క్రితమే శ్రీ పూరీ శంకరాచార్యుల వారు తమ Vedic Mathematics లో అత్యద్భుతంగా వివరించారు..ఇది మంచి సందర్భం అయినా ఆ పద్ధతిని ప్రస్తుతం వివరించలేక పోతున్నాను.( కారణం ప్రస్తుతం మస్తకం మెల్ బోర్న్ లోను, ఆ పుస్తకం బెంగుళూరు లో ఉండడం వల్ల)

1/ 19 విలువ ఆధారంతో 2/19 నుండి 18/19 విలువలను కేవలం అంకెలను మార్చడం ద్వారా కనిపెట్టవచ్చు.
1/ 19 = 0.052631578947368421

For example, if you want to multiply it by 5, choose the first 5 with the 2 after it..( otherwise you have to shift 05 to the end.
5/19 = 0. 26315789947368421 05

If you want to multiply it with 15, choose the second 5 with larger digit 7.after it. ( or you have to shift the group 0526315 to the end.)
15/19 = 0.78947368421 0526315
Similarly ,

3/ 19 = 0. 1578947368421 05263

13/ 19 = 0. 68421 0526315789473

But, 19/ 19 = 0. 999999999999999999……. ( even though 19/19 =1)

క్లుప్తంగా చెప్పాలంటే 1/19 విలువను ఏదైనా ఒక అంకెతో హెచ్చ వేయాలనుకున్నప్పుడు నిజంగా గుణకారం జరపవలససిన అవసరం లేదు. కేవలం ఉన్న అంకెల సముదాయాన్ని ముందు వెనుకలుగా జరిపితే సరిపోతుంది.

1/19 విలువలో ఉండే 18 అంకెలను 9 అంకెల రెండు సముదాయాలుగా చేసి కూడితే వచ్చే జవాబును చూడండి.
( 052631578) + ( 947368421) = 999, 999, 999.

19 – ఒక Happy number . ( అయిదో happy number)
సంఖ్యలలో కొన్ని happy numbers ఉన్నాయి. సందర్భం వచ్చి నపుడు వాటి కథా కమామిషు తెలుసు కుందాం. ఇప్పుడు సంక్షిప్తంగా మాత్రమే చెప్తాను.
(ఏ దైనా ఒక సంఖ్యలో గల అంకెల వర్గాలమొత్తాలను కలపాలి. వచ్చిన సంఖ్యలోని అంకెల వర్గాలను తిరిగి కలపాలి .ఈ ప్రక్రియ 1 ని చేరేవరకు కొనసాగితే దానిని happy number అంటారు.)

19 — ( 1^2 + 9^2) = 82 —- ( 8^2 + 2^2) = 68 —- ( 6^2 +8^2) =100— (1^2+o^2+0^2)= 1
ఈ ప్రక్రియలో చివరకు 1 వచ్చింది కదా, కనుక 19 ఒక happy number.

42 happy number అవునో కాదో చూద్దాం.
42 — ( 4^2+ 2^2) = 20 — ( 2^2+O^2) = 4 —- 4^2 — 16 — (1^2+6^2)=37—(3^2+7^2) = 89 —- ( 8^2+9^2)= 145——(1^2+4^2+5^2) = 42
42 దగ్గర బయలుదేరి మరల 42 దగ్గరకే వచ్చాం. అలా అదే సంఖ్య పునరావృతమైతే దానిని గణితజ్ఞులు unhappy number అన్నారు.
ఇంతకూ మన 19 ఒక happy number అని రూఢి అయింది కదా!
Happy number ల శ్రేణి .: 1, 7, 10, 13, 19, 23, 44, 49 , 68, 79.( 100 లోపు)
ఇందులో 19 సంఖ్యది అయిదో స్థానం.

ఇక 19 యొక్క భాజనీయత గురించి చూద్దాం:

ఏదైనా సంఖ్యను 19 నిశ్శేషంగా భాగించగలదో లేదో చాల సులభంగా కనిపెట్ట వచ్చు.
సంఖ్య లోని చివరి అంకెను రెట్టింపు చేసి మిగిలిన సంఖ్యకు కలుపుకుంటూ వెళ్లాలి.

ఉదాహరణ : 1
9172 ని 19 విభజిస్తుందా?

917 + ( 2×2) = 921
92 + ( 2×1 ) = 94
9 + ( 2×4) = 17
17 ని 19 భాగించలేదు కనుక
9172 సంఖ్య 19 తో విభజింప బడదు.

ఉదాహరణ : 2
2888

288 + (2×8) = 304
30 + (2×4) = 38
38 ని 19 భాగిస్తుంది కనుక 2888 ని కూడ 19 నిశ్శేషంగా భాగిస్తుంది.

ఉదాహరణ: 3
1, 000, 008

100, 000 + (2×8) = 100,016
10, 001 + (2×6) = 10, 013
1,001 + ( 2×3) = 1, 007
100 + 2×7 = 114
11 + 2×4 = 19.

ఓహ్, అద్భుతం.
1,000,008 ని 19 నిశ్శేషంగా భాగిస్తుందిట!

20 ఒక స్వయంభువువు.

20
Self Numbers ( స్వయంభువులు)

భారతదేశపు గణితజ్ఞులలో శ్రీ D. R. Kaprekar ఒకరు. ఆయన సంఖ్యా శాస్త్రం లో అమితంగా కృషి చేసిన మేధావి. కాని ఆయనకు దక్కవలసిన గౌరవం ఆయనకు దక్కలేదేమో అనిపిస్తుంది. He was an unsung hero of o mathematics. , ఆయన కూడ అందరి మేధావుల లాగ సంఖ్యలను ఇటూ అటూ తిప్పి, కిందా మీద పడేసి, వాటి DNA లను విశ్లేషించి సంఖ్యలలో మరెన్నో క్రొత్త శ్రేణులను కనిపెట్టారు.
అందులో కొన్ని హర్షదాలు( Harshsd numbers), స్వయంభువులు ( Self Numbers), Kaprekar Constants వగైరా వున్నాయి.
ఈ మధ్య 18 ప్రాముఖ్యత గురించి చెప్పుకుంటున్నప్పుడు ఈ హర్షదాలు ( Harshad Numbers) గురించి ముచ్చటించుకున్నాం. ఇప్పుడు Self Numbers ( స్వయంభువుల) గురించి తెలుసు కుందాం.
ఆయన ఈ సంఖ్యలకు వివరణ యిచ్చే ముందు మొదట ఏ సంఖ్యలు స్వయంభువులు ( Self numbers)కావో చెప్పి ఆ తర్వాత స్వయం భువులేవో విశదం చేసారు..

ఏదైనా ఒక సంఖ్యను ఎంచుకో మన్నారు.
సరే 35 ఎంచుకున్న సంఖ్య అనుకుందాం.
35 లోని అంకెలు 3, 5. వాటిని 35 కి కలప మన్నారు. అలా చేస్తే 35 + 3 + 5 = 43,
ఈ 43 ఆవిర్భవించడానికి 35 కారణం అయింది కాబట్టి 43 సంఖ్య స్వయంభువువు ( self number) కాదు అని ఆయన నిర్వచించారు. 43 సంఖ్య కు జన్మకారకం 35 అన్నారు.
పోనీ మరో సంఖ్య 73 తీసుకుందాం. 73 + 7 + 3 = 83.
83 కూడ 73 వల్ల ఉద్భవించింది కాబట్టి 83 సంఖ్య స్వయంభువువు( self number) కాదు అన్నారు.
దీని నంతనూ సూత్రీకరించి సూక్ష్మంగా ( ab +a +b )లా గాని, , ( abc + a + b +c ) లా గాని,
(abcd + a +b +c +d ) వలె గాని ఆవిర్భవించని సంఖ్యలు మాత్రమే self numbers అవుతాయని ఆయన భాష్యం చెప్పారు. నిజానికి అటువంటి సంఖ్యలు అసలంటూ ఉన్నాయా అనే సందేహం మనకు కలగడం సహజం.
కాని Kaprekar గారు 100 లోపు అంకెలలో దాదాపు 13 స్వయంభువులు self numbers ) ఉన్నాయని ఘంటాపధంగా చెప్పి నిరూపించారు.

14 సంఖ్య చూడండి. ఇది (14 + 1+ 4 = ) 19 సంఖ్య ఆవిర్భావానికి కారణం ఆవుతోంది..
అలాగే 15 సంఖ్య , ( 15 +1 +5 =) 21 సంఖ్య ఆవిర్భావానికి కారణ మౌతోంది.
సరే, మరి 20 సంఖ్య ఆవిర్భావానికి కావలసిన సంఖ్య ఏది? అసలుంటే అది 14 కి 15 కి మధ్యే ఉండాలి. అది ఎలా సాధ్యం ? అంటే 20 ని generate చేసే సంఖ్య ఏదీ సంఖ్యామానంలో కనిపించడం లేదు. మరో రకంగా చెప్పాలంటే 20 ని మనం ab +a +b రూపంలో చూపడం అసాధ్యం. అందు చేత 20 ఒక స్వయంభువువు (Self Number).
20 ఆవిర్భావానికి మరో సంఖ్య ఏదీ కారణం కావడం కాదు.
చాల చిత్రం గా వున్నా ఈ వాదం ఎంత సహేతుకమో చూసారా?

ఇటువంటి స్వయంభువుల ( self numbers) శ్రేణి ని కప్రేకర్ రూపొందించారు. (single digits 1, 3, 5, 7, 9 లతో పాటు) 20, 31, 42, 53, 64, 75, 86, 97 ..

100 సంఖ్య (100+ 1 ) 101 సంఖ్యకు జనని.
91 సంఖ్య కూడ (91+9+1) 101 సంఖ్యకు జనని.
101 సంఖ్య ఇద్దరు తల్లుల ముద్దు బిడ్డ లా ఉంది. 101 లాంటి రెండు మాతృకలు గల సంఖ్యను కప్రేకర్ గారు junction number అన్నారు.

ఇవి కాకుండా ఆయన మరో సీరీస్ కనిపెట్టారు.
1, 9, 45, 55, 99, 297, 703, 999, 2223, 2728……

9 కి వర్గం 9^2 = 81 ; (8+1) = 9
45 కి వర్గం 45^2 = 2025 = 20+ 25 = 45
703^2 = 494 209; 494 + 209 = 703
———-

అన్నిటికన్నా కప్రేకర్ గారి అద్భుత సృష్టి 6174.
దాని గురించి రేపు చర్చించుకుందాం.
వారి జీవిత విశేషాలతో సహా.

ఏమైనా ఈ గణితజ్ఞుల బుర్ర ఊరికే వుండదు. సామాన్మం లోనే ఏదో అసమాన్యాన్ని, ఎవ్వరూ ఊహించని విశేషాన్ని తాము చూసి, మనకు చూపించి మనలను ఆశ్చర్యచకితులను చేసే వరకూ వాళ్ల బుర్ర ఊరికే వుండటానికి ఊరుకోదు.

20 వ తేదీ ఈ రోజు. 20 ఒక అపురూప మైన స్వయంభువువు..
అంతే కాదు 20 ఒక abundant number ( బహుళకము) కూడా..( 20 యొక్క కారణాంకాల మొత్తం 1 +2 +4 +5 +10 = 21 విలువ 20 కంటె ఎక్కువ.)