The untouchables ( అస్పృశ్యులు)

The Untouchables. (అస్పృశ్యులు)

గణిత లోకంలో మొదటి వరసలో ఉండేవి prime సంఖ్యలే. ఇవంటే ఎందుకో గణితజ్ఞులకు వల్లమాలిన ప్రేమ. అలాగే perfect numbers – వాటి జనాభా తక్కువైనా వాటి మీద కూడ వీరికి మోజు ఎక్కువ. Perfect numbers గురించి మరోసారి గుర్తు చేస్తాను. 28 కి గల కారణాంకాలు 1, 2, 4, 7, 14. వీటి మొత్తం (1 + 2 + 4 + 7 + 14) మరల 28. ఇలాంటి గుణాలున్న అంకెలను perfect numbers అంటారు.
మనకి ఇంకా దగ్గర లో ఉన్న మరో perfect number 6.(1+2+3)
అలాగే amicable pairs మీద కూడ వారికి వాత్సల్యం ఎక్కువ.
అలాంటి ఒక అన్యోన్యపు జంట amicable pair: (220, 284).
220 ని భాగించగల సంఖ్యలను కూడితే 284 వస్తుందట. అలాగే 284 ని భాగించగల సంఖ్యలను కూడితే 220 వస్తుందట. ఇలాంటి జంటలు అంకెల ప్రపంచంలో చాల అరుదుగా కనిపిస్తాయి.
220 కి గల కారణాంకాలు ( 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110). వీటి మొత్తం 284.
284 కి గల కారణాంకాలు ( 1, 2, 4, 71, 142). వీటి మొత్తం 220.
ఈ amicable pairs గురించి వివరాలు ఇప్పుడు కాదు, మరొక రోజున వివరంగా ముచ్చటించు కుందాం.

ఇలాంటి ఎన్నో శ్రేణుల అట్టడుగున కనపడేవి untouchables.
ఉదాహరణకు ఈ అస్పృశ్యుల శ్రేణిలో ఒక సంఖ్య 88. నిజమా, ఏవిధంగా? అని అడిగారనుకోండి, కారణం చెప్పాలి కదా.
సంఖ్యామానంలో ఏ సంఖ్య తీసుకున్నా, వాటి కారణాంకాల మొత్తం కూడితే 88 ఎప్పుడూ రాదు.
80 కి కారణాంకాలు 1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 40. వాటి మొత్తం 88 కాదు. పోనీ 84 తీసుకుందాం. దాని కారణాంకాలు 1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42. వీటి మొత్తం కూడ 88 కాదు. ఇదే కాదు మరే సంఖ్య నేదైనా ఉందేమో ప్రయత్నించి చూడండి. వాటి కారణాంకాల మొత్తం 88 కి సమానం ఎప్పుడూ అవదు.
అంటే పాపం 88 తో స్నేహం చేయడానికి ఏ సంఖ్యలు సుముఖంగా లేవు – నన్ను ముట్టుకోకు నామాల కాకి అంటూ.
కాని 20 ని చూడండి., అది అస్పృశ్య కాదు. 34 కి గల కారణాంకాల ( 1 +2 + 17) మొత్తం 20.
పోనీ 21 చూడండి. అది 18 యొక్క కారణాంకాల మొత్తమే కదా! ( 1 + 2 + 3 + 6 + 9 = 21).
ఈ విధంగా ప్రతిసంఖ్యను క్షుణ్ణంగా పరిశీలించాక గణితజ్ఞులు సంఖ్యామానంలో ఇటువంటి అస్పృశ్యులు చాలా ఉన్నట్లు నిర్ణయానికి వచ్చారు. వాటిలో కొన్ని:
2, 5, 52, 88, 96, 120, 124, 162, 188, 206, 210, 216, 238…
గమనించారో లేదో, ఈ శ్రేణిలో మొదటి 2, 5 మాత్రమే ప్రైమ్ సంఖ్యలు. మిగిలిన అన్ని సంఖ్యలు సరి సంఖ్యలే. 2, 5 తర్వాత 52 వచ్చేవరకు మధ్యలో ఎక్కడా అస్పృశ్య లేదు.
5 తప్ప మరే సంఖ్య lucky number కూడ కాదు.
ఈ అస్పృశ్యులలో ఏ సంఖ్య కూడ ఏ ప్రైమ్ సంఖ్యను దాటి ఒక అడుగో లేక మూడు అడుగులో ముందు నిలబడి ఉండదు. సూత్రబద్ధం గా చెప్పాలంటే
p + 1 is not equal to Un or
p +3 is not equal to Un ( where p is the prime number and Un is the untouchable number)

కాని, ఆస్పృశ్య సంఖ్య తరచుగా prime number కంటె ఒక అడుగు వెనకే ఉంటుంది.
(inferiority complex తో)

….47, (52), , 53, 59, 61, …… 83, (88), 89, (96) , 97, 101, …. 157, (162), 163, 167….
చూసారు కదా brackets లోని అస్పృశ్య సంఖ్యలు ఎప్పుడూ ప్రక్కనే ఉన్న prime numbers కంటె ఒక అడుగు వెనకనే నిలబడి ఉండడం!

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s