లల్ల పదాలు

శ్రీ లల్ల పదాలు.

14 వ శతాబ్దంలో కాశ్మీరాలలో లల్ల పుట్టింది. అమెకు పుట్టింది మొదలు ఆత్మాన్వేషణమే పని. ఆమెతో ప్రాచీన కాశ్మీరంలో కవిత్వం పుట్టింది. ఈమె కవితల్లో శివాద్వైతం, అద్వైతం , తంత్రం, ప్రత్యభిజ్ఞ, సూఫీ సంప్రదాయం మొదలగువానిలో చిలికిన వెన్న గీయని సున్నా కనిపిస్తాయి.
తత్త్వద్వేషులు వీనినే లల్లాయి పదాలను అన్నారా లేక తెలుగునాట నిజంగానే మరో ల(లొ)ల్లయ్య చెప్పిన పదాలనే ఇలా అన్నారా సంశయం ఇప్పటికీ అలానే ఉంది.
ఈమె పద్యాలను శ్రీమదభినవగుప్తుడు ఈశ్వర ప్రత్యభిజ్ఞా వ్యాఖ్యాన భాస్కరుడు ” లల్లేశ్వరీ వాక్యాని” అనే పేరుతో సంస్కృతంలో శ్లోకాలుగా మార్చాడు. ఈమెకు హిందువులలో లల్ల, లల్లాదేవి, లల్లేశ్వరి, లల్లాయోగిని అనీ, ముస్లిములలో లల్లా అరీల్రీఫా అనీ పేర్లున్నాయి.

ఆమె పదాలను శ్రీ వేలూరి శివరామ శాస్త్రిగారు తెనిగించారు వచనంలో.
అవి 1958 ప్రాంతంలో “నవ భారతి ” పత్రికలలో ప్రచురింప బడ్డాయి.

కొన్ని లల్ల పదాలు.

నేను అబలను. నన్ను భవరోగం పట్టుకొని పీక్కుతింటోంది.
శివుడు, కేశవుడు, జినుడు- బ్రహ్మ వీరిలో ఎవరు నాకు చికిత్స చేసినా సరే-

నేను విభుని కోసం దేశదేశాలు తిరిగి వేసారిపోయాను. పొరబాటుపడ్డాను.
ఊపిరి నిలిపి, జ్ఞానదీపం వెలిగించి చూతునుగదా
తీరా ఇంట్లోనే చిత్స్వరూపుడు కనబడ్డాడు.

విభుని దర్శనంకోసం ఎన్నో తీర్థాలు తిరిగాను.
అతని గుణాలు కీర్తించికీర్తించి నోరు నొచ్చింది. దానికంటె మనస్సు మలమల మరిగింది.
అతని విమర్శ చేస్తూ లోనికి వెళ్లా.
అక్కడ అన్నీ ఆవరణాలే. అతను లోపలనే ఉంటాడని నిశ్చయించా. తోసుకుని లోపలికి వెళ్లా.
అపుడందరూ లల్లా లల్లా అన్నారు.

సంసారంలో కుమిలి దిక్కులేనిదానినైనాను. ఇప్పుడు సహజమైన ప్రబోధం కలిగింది.
ఒకరికోసం నేను మరణించక్కర లేదు. నాకోసం మరొకరు చావక్కరలేదు.
నాకిపుడు చావు బ్రతుకూ ఒక్కటే.

ముక్తికోసం పాపం ఈ సన్యాసులు తీర్థాలు పోతారు.
ముక్తి చిత్తసాధ్యంకాని తీర్థసాధ్యం కాదు.
దూరపుకొండలు నునుపు.

చిత్తం అనే అద్దం నిర్మలమైనది. ప్రత్యభిజ్ఞ కలిగింది.
దైవం నా స్వరూపంగానే కనిపించింది.
నేనూ హూష్ – నీవూ హూష్. ఈ ప్రపంచమూ హూష్.

అమ్మలక్కలు నన్ను వేవిధాల తిట్టనీ,
ఉదాసీనమైంది నా మనసు. దానికి మకిలి పట్టదు.
ఉదాసీనమైన ( పైన వ్రేలాడదీసిన) అద్దాన్ని
( నేలమీది) దుమ్ము ఏం చేస్తుంది?

నన్ను తిట్టుకోండి, తిమ్ముకోండి.
పూలతో పూజించుకోండి, రాలతో కొట్టుకోండి.
నాకు దుఃఖమూలేదు, సంతోషమూ లేదు-
బోధామృతం తాగి నాలో నేనున్నా..

శీలాన్నీ మానాన్నీ కాపాడటానికి శీలమానాలే భటులు . ( కాని, నీవా.? నేనా?)
గాలిని ఏ మొనగాడైనా పట్టుకుంటాడా?
ఏనుగు నెవడైనా దారంతో కట్టివేస్తాడా?

అంతా తెలిసి మొద్దులా ఉండు; అంతా విని చెవిటివి కా;
అంతా చూసి గ్రుడ్డి వవు – ఇదే తత్వాభ్యాసం.

అభ్యాసం చేత దృశ్యం శూన్యమైతే సాక్షిరూపం మిగులుతుంది.
శాంతమైన ఆ సాక్షిన్నీ శూన్యమైతే ఇక అనామయం.

వాక్కూ మనస్సూ శివుడూ శక్తీ – సమస్తమూ
దేంట్లో లయమైతే అదే – అభ్యాసం.

తంత్రమంతా మంత్రంలో,
నాదమూలమైన మంత్రమంతా చిత్తంలో లయమవుతుంది.
చిత్తం లయమయితే
దృశ్యమూ ద్రష్టా కూడ చిత్ స్వరూపంగా శేషిస్తుంది.

సూర్యుడు అస్తమిస్తే చంద్రుని వెలుగు. చంద్రుడు అస్తమిస్తే చిత్తం వెలుగు.
చిత్తం అస్తమిస్తే దృశ్యజాతమంతా ఎందులో లీనమౌతుంది?

నీ వెవరో తెలియదు. నే నెవరో తెలియదు.
నీతో ఐక్యమూ తెలియదు ,
దేహమే నేనని అనుకోవడం వల్ల –
” నీ వెవరు? నే నెవ్వరు?” అని సంశయం

శివుడు గుఱ్ఱం. కేశవుడు జీను. ఆత్మ-భవుడు లాడాలు.
తగిన రౌతు ఎవడో నాకు చెప్పు.

అప్పుసొప్పులు తీర్చుకోవడం ఒక తీర్చుకోవడం కాదు.
తిండి బట్టల భ్రమ తీర్చుకోవాలి.

చలికిమాత్రం గుడ్డ. ఆకలికిమాత్రం కూడు.

సహజస్థితిలో భేదం అనేది కలికానికి కూడా కానరాదు.
బయటలో బయలు కలిసినటుల కలిసిపోవడం సహజస్థితి.

ఒకానొకడు నిదురపోతైనా జాగరూకుడే!
ఒకడు జాగరూకుడైనా నిదురపోతే;
ఒకానొకడు ఆడంటు ఐనా పవిత్రుడే.
ఒకడు స్నానం చేసినా అశుచే .

ద్వాదశాంతంలో తానే గుడి కట్టిన దేవళంలో కూచుని
ప్రాణసూర్యుణ్ణి ప్రరోచనచేసి శంకరుడైపోయే వా డిక
ఎవరిని పూజిస్తాడు?

ఓ యోగీ! నీకు జలస్తంభన ఎందుకు? అగ్నిస్తంభన ఎందుకు?
ఆకాశగమనం ఎందుకు? కొయ్యావు పాలు పిండడ మెందుకు?
ఇదంతా బడాయి కాదా?

ఏ దిక్కున ఏ దారిని వచ్చానో
మళ్లా ఏ దారిని పోతానో తెలియదు.
ఉచ్ఛ్వాసమే నాకు ధైర్యం.

ఓ ప్రభూ! నీకూ ఆరు. నాకూ ఆరు.
నీవు ఏలికవు. నేను వెంకను – ఇదే తేడా.

అయ్యా! దేహాదులైన ఆరు కోశాల అడ్డువల్ల
నిన్ను కానక దుఃఖ పడ్డాను. ఇపుడో ఉపాధి బద్దలయింది.
విశ్రాంతి దొరికింది.

ఒజ్జా! నాకిది చెప్పు –
హాహ్, హూహ్ , రెండూ అన్యమతాలే కదా!
హాహ్ వేడిగా ఉండడమేం?
హూహ్ చల్లగా ఉండడమేం?

హాహ్, జఠరాగ్నితప్తమై
నాభి దగ్గరనుంచి వస్తుంది.
హూహ్, ద్వాదశాంతం నుంచి పుడుతుంది.
హాహ్ ప్రాణం, హూహ్ అపానం.

లల్ల పత్తికాయలాగ జీవితం ఆరంభించింది. అది వికసించేసరికి దాన్ని కోశారు.
ఒకరు పింజతీశారు.ఒకరు ఏకారు. ఒకరు వడికారు. ఒకరు ఉతికారు.
ఒకరు మగ్గంలో పెట్టి అటూఇటూ కొట్టారు.
ఒకరు కత్తిరించారు. ఒకడు కట్టాడు.
అమ్మయ్య! అంతటితో దీనికి విముక్తి! జీవుడిదారి ముండ్లడొంక!

నన్ను నేను తెలుసుకోడానికి శ్రమపడి ప్రాణాయామాదులతో అలసి అలసి, అతివిజనమైన జ్ఞానమార్గంలో నడచి నడచి ఆనందసురాగృహం చూళాను.
అక్కడ ఉన్నవన్నీ నిండుకుండలే.
ఎవడుకాని ఈ కల్లుపాక చేరీ, తాగకుండా పోతే పోనీ, వాడి ఖర్మం!

తెలుగు వచనం

1930 లో ఇంటర్మీడియట్ లో తెలుగు పాఠ్యగ్రంథం లోని ఒక పేరా.

” కాన నీవిపుడు తల్లడంపుపాటు వీడి, యేమరిపాటు నొందక, మెచ్చగు నెచ్చరికఁ జూచుచుండుమని నాతనికిం దిట్టతనంబు గట్టి, యద్దిట్టకట్టాయితంబుగ నున్న నక్కండల తిండిపోతు దండెత్తి తీండ్రం బగు వేండ్రమునఁ గోండ్రింపుచుఁ గడు బైడాలంబున మండిపడుచు గడునిడుద వెడదల మెండగు తన యొడలియుబ్బున నల కఱ్ఱిగుబ్బలిగబ్బితనంబుల మబ్బులఁ బోలె గొబ్బునఁ దెగద్రొబ్బలిఁ జాలి కక్కసంబు లగు డెక్కలఁ ద్రొక్కుటవలన నక్కడలి వలువఁ గొండలంబోలి బిండి సేయఁ గండుమీఱుచుఁ బరగోత్రమ్ముల వ్రక్కలింపందగు తెగువబిగువున నూఱంచుల మించు నడిదంబు బెడిదంపుపాటుకుఁ గంటగింపం జాలు దంటతనంబు నంటి, గొంటుపడక నొమ్ములగు కొమ్ములచేతఁ గణకణలాడుచు, దట్టంబులగు మిణుగురులతిట్టలఁ దిట్టంబుగఁ బుట్టించుచు నల పిడుగుల గుండ్ల గండ్రతనంబుఁ దనువేండ్రంబునఁ బెగడొందింపఁ జాలి, మండిపడిన చండ్రనిప్పుల యొప్పులకు ముప్పు లుప్పతిల్లఁ జేయంజాలు కనుగ్రుడ్డుల బెట్టిదంబులగు గంటుచూపులన రూపుమాపంజాలి, దండధర దండసముద్దండ వేదండకుండాకాండ ప్రహత కుండలీంద్ర ప్రచండి మాడంబర కఠోరతాకుంఠీకరణాకుంత సముత్కంఠ జరఠకమఠ ఖర్పర కఠోర పటుతర నిజార్భటీ భూషణభీషణంబగు నిజవాలధిదంభోళి చేత నతి గరిష్ట కృష్ణగ్రావతట నిష్పేషణ దక్షరూక్షాతర విశాలమ్మగు ఫాలమ్ము చేతఁ గల్పక్షయ సమయ సమాక్షిప్తరితిక్షాపక్షరూక్ష క్రమదక్షిణ దిక్ క్షోణీశరక్తాక్ష హర్యక్షంబు నధిక్షేపించుచు ను సురుల బలిమికలిమిఁ గసి వేసరక, యంతయు నొక్క పెట్టన గసి మసంగ జేయ సమకట్టి గోరగింత నెంతయుం బూనిన యొడల గండుమీఱి దండెత్తిన యా రౌద్రరసం బోయని యెన్నంజాలి, యవ్వాలిఁ జూచి నీవు బెట్టిదంపు పోటరివేనిఁ బోటొగ్గుకొనుమని దిగ్గునఁ గదిపి వెగ్గలంబుగఁ దన్న నెదుట దాటింప నేతెంచె” –

ఈ పేరా అంతయు నొక్క వాక్యము.

గ్రంథము పేరు : నయప్రదీపము – విగ్రహము.
రచయిత : శ్రీ కోరాడ రామచంద్ర కృతి
( 19 వ శతాబ్దము)

గ్రంథ మంతయు నిట్లే యొక నిఘంటువు వలె నుండును.
ప్రస్తుత మిది ఇంటరు మీడియటు పరీక్షకు పాఠ్యగ్రంథము.
పాఠ్యగ్రంథ నిర్ణయ సంఘము వారు స్కూలుఫైనలు లో కృతార్థులైన విద్యార్థులకు తెలుగు పాండిత్య సౌధమున నెక్కిన మెట్టులను లెక్క పెట్టి, గుర్తించి, దాని పై మెట్టున కెక్కుటకు చాలిన పుస్తకములను నిర్ణయించుట శ్రేయము.

కాని ఒక్క ఎగురున తత్సౌధోపరిభాగమున కెగిరింప బూనుట సాహసము.

(1930 డిసెంబరు భారతి పత్రిక గ్రంథవిమర్శ లో ఒక భాగం.)

చింతపండు

చింతపండు

ఉప్పు, కారం, తీపి – ఇలా రుచుల గురించి మన భోజనం లో వాటికి గల విశిష్ట స్థానం గురించి తరచు చెప్పుకుంటూంటాం. మన తెలుగు వంటకాలలో పులుపు కి కూడ అధిక ప్రాధాన్యత ఉంది. ఔత్తరాహులు పులుపు లేని వ్యంజనాలకు ఇష్టపడతారు. మనకు పులుపు లేనిదే ముద్ద దిగదు. అందుకనే తెలుగువారికి చింతపండు లేకపోతే ఇల్లు గడవదు. ఇంచుమించు 20 వ శతాబ్దపు ఉత్తరార్థంలో నుండే టమోటో తెలుగు వారిళ్లల్లో వాడకానికి వచ్చింది కాని అంతకు ముందు చింతపండు, చింతచిగురు తెలుగు వారి వంటిళ్లను ఆక్రమించినవే. ఇవి తెలుగువారి ప్రత్యేక సంపదలే. మనతోబాటు కన్నడిగులకు తమిళులకు కూడ సాంబారు, రసముల తయారీకి చింతపండు అవసరం.

కొఱవి గోపరాజు మినహా ఆంధ్రసారస్వతంలో ఇంతవరకు చింతపండును కావ్యములలో వర్ణించిన వారు లేరు. హాస్యరస పోషణతో పాటు ఇతని చించావృక్ష వర్ణన సరసంగా ఉండి సహృదయులను అలరిస్తుంది. ఈ విధమైన మనోహరమైన వర్ణనలు ( అష్టాదశ వర్ణనలు, నాయకీనాయకుల విరహతాపాలు, ఉపాలంభనలు మినహా) ప్రాచీన కావ్యాలలో చాల అరుదు. 15 వ శతాబ్దాంతంలో వెలువడిన ఉత్తమోత్తమ కావ్యాలలో కొఱవి గోపరాజు రచించిన ‘ సింహాసన ద్వాత్రింశిక’ ఒకటి. ఇతడు ప్రాచీనులలో ప్రాచీనుడు, ఆధునికులలో ఆధునికుడు. కావ్యసాంప్రదాయకమైన అష్టాదశ వర్ణనలతో బాటు బల్లి, నల్లి, చేప, పక్షి క్రిమికీటకాదులతో పాటు చింతపండు, బెల్లము, అల్లము మొదలగునవే కాక ఆకలి, కంఠములోని బాధ, అప్పుడే పుట్టిన బిడ్డ , బిడ్డయొక్క బొడ్డు, దాని కోత, ఉగ్గు – ఆముదము. , ఒకటేమిటి నిత్యజీవితం లోని చాల సామాన్య విషయాలను బహు చమత్కారంగా వర్ణించాడు.
అందులో చింతపండు వర్ణన చూడండి.

” చింత మది లేక మనుజులు
చింతించిన కొలఁదిఁ జవులు చేకూర్చుచు ని
శ్చింతులఁగా నొనరించెడు
చింతకు సరిగలదె లోక చింతామణికిన్”

” ఈ చింత పంటి సరిగా
నో చెల యమృతంబుఁ జెప్ప నొప్పునె దానిన్
వాచవి గొని తమ జిహ్వల
నే చవులును లేక చెడరె యింద్రాది సురల్.”

చింత శబ్ద వ్యుత్పత్తి గురించి:

” భ్రాంతి వడి కల్పవృక్ష
ప్రాంతంబునఁ గూడుఁ గూర్కుఁ బట్టక సుర ల
శ్రాంతంబు దీనికై మదిఁ
జింతించుటఁ జేసి పరగెఁ జింత యనంగన్.”

” ఉడుపతి తనలో నమృతము
గడలుకొనియుఁ బెక్కు చవులు గానక కృశుడై
విడిచిన కళలన్నియు నీ
గొడిసెల రూపమునఁ జింతఁ గొలువఁగఁ బోలున్.”

” వెస నిర్మించిన బ్రహ్మకు
రసికుఁడు మ్రొక్కిడుచు ఫలము రంజిల్లఁగ ష
డ్రసములలో నిది నమలెడు
దెసఁగని నోరూరు నాదిదేవున కైనన్.”

” గరిత లేని యిల్లు దొర లేని తగవును
జింతపండు లేని వింత చవియుఁ
జనవు లేని కొలువు శశి లేని రాత్రియు
ముక్కు లేని మొగము నొక్కరూపు.”

తేదీ – తిథి

తేదీ – తిథీ

మనకు ఇంగ్లీషు కేలండర్ ప్రకారం భూత భవిష్యద్వర్తమాన కాలాలలో ఏదైనా ఇక తేదీకి ఆనాడున వచ్చే తెలుగు తిథి ని కనుగొనడానికి ఏదైనా ఉపాయం ఉందా?

పూర్వం పంఞ్చాంగ కర్తల దగ్గర పాత పంఞ్చాంగాల బొత్తులు చాల ఉండేవి. కాని అసలైన పండితులు మాత్రం లెక్కలు ద్వారానే వాటిని కచ్చితంగా కనుగొనే వారు. దరిమిలా కంప్యూటర్లు వచ్చి ఈ పనిని సులభతరం చేసాయి. రాశులు నక్షత్తాలు ముహూర్తాలు జాతకాలు కనుగొనే పద్ధతుల గురించి ఇక్కడ చెప్ప బోవడం లేదు. కేవలం ఇంగ్లీషు తేదీకి భారతీయ తిథికి గల correlation గణిత విధానాల ద్వారా చూపడమే ప్రస్తుత అంశం.

క్రీస్తు శకంలో ప్రతి సంవత్సరానికి సంబంధించిన రెండు విషయాలు ఉన్నాయి –
ఒకటి స్వర్ణ సంఖ్య( Golden number).
రెండోది వత్సరాది తిథి. ( Epac – Age of the moon on the 1st January).

తేదీ – తిథిచక్రం 19 సంవత్సరాలలో ఒక పరిపూర్ణ పరిభ్రమణం చేస్తుంది. అంటే ఇప్పుడు ఏ నెల ఏ తేదీ నాడు ఏ తిథి అవుతుందో 19 సంవత్సరాలకుపూర్వం ఆ నాడు ఆ తిథే ఉందన్నమాట. ఇలాగ క్రీస్తు శక సంవత్సరాలన్నీ పంతొమ్మిది చొప్పున విభజింపబడ్డాయి. ఈ పంతొమ్మిదేండ్లకు వరుసగా 1, 2, 3, ….19 పూర్ణ సంఖ్యలు ఉంటాయి. అలాగే ప్రతి 19 వ సంవత్సరాలకు ఈ స్వర్ణ సంఖ్య వరుసగా వస్తుంది.

పద్ధతి:
క్రీస్తు శక సంవత్సర సంఖ్యకు 1 కలిపి 19 చే భాగిస్తే మిగిలిన శేషం ఆ సంవత్సర స్వర్ణ సంఖ్యను తెలియజేస్తుంది. ఉదాహరణకు 2014 తో ఒకటి కలిపి 19 తో భాగిస్తే 1 మిగులుతుంది. 2014 సంవత్సరము యొక్క స్వర్ణ సంఖ్య 1 అన్నమాట. ఇలాగే మరల క్రీ. శ. 2032 వరకూ స్వర్ణ సంఖ్య 1, 2, 3, …. 19 వరకూ పెరుగుతుంది. 2033 సంవత్సరం స్వర్ణ సంఖ్య మళ్లీ 1 అవుతుంది.

అలాగే గత సంవత్సరం 2017 యొక్క స్వర్ణ సంఖ్య రావాలంటే (2017 +1) ని 19 తో భాగిస్తే శేషం 4. అదే 2017 యొక్క స్వర్ణ సంఖ్య . 2018 కి ఇదే ప్రకారం స్వర్ణసంఖ్య 5.
ఈ స్వర్ణ సంఖ్య సహాయంతో జనవరి 1 వ తేదీ నాటి తిథిని తెలుసుకోవచ్చు.

పద్ధతి:
ఒక సంవత్సరం యొక్క స్వర్ణ సంఖ్యలోంచి 1 తీసివేసి శేషాన్ని 11 తో గుణించి 30 ( తిథుల సంఖ్య) తో భాగిస్తే వచ్చిన శేషం ఆ సంవత్సరం జనవరి 1 వతేదీ తిథి అవుతుంది.
ఉదాహరణ: 2017 సంవత్సరం స్వర్ణ సంఖ్య విలువ 4. ( పైన పేర్కొనడం జరిగింది ). దాని నుండి 1 తీసివేస్తే 3. మూడుని 11 చే గుణిస్తే 33.
33 ని 30 తో భాగిస్తే శేషం 3.
3 అంటే తెలుగు తిథి తదియ. 2017 సంవత్సరం జనవరి 1 న తదియ అయిందో కాదో చూడండి.
మరొక ఉదాహరణ గా ఈ ( 1-1-2018) తీసుకుందాం. 2018 యొక్క స్వర్ణ సంఖ్య 5. దాని నుండి 1 తీసివేసి 11తో గుణిస్తే 44. దానిని 30 తో భాగిస్తే శేషం 14. అంటే చతుర్దశి.

అది సరే: సంవత్సరంలో ఏ తేదీ నాడయినా తిథి తెలుసుకోవడం ఎలాగ? దానికీ ఒక విధి విధానం ఉంది.
జనవరి 1 వ తేదీ నుండి తిథి కావలసిన నాటి తేదీ వరకు గడిచిన తేదీలను కూడి 29.5 తో భాగించగా మిగిలిన శేషానికి వత్సరాది నాటి ( జనవరి 1 నాటి) తిథి కలిపితే మనకు కావలసిన తిథి తెలుస్తుంది.
24 – 2 – 2017 న ఏ తిథి అయిందో చూద్దాం :
2017, జనవరి 1 న తిథి : తదియ కదా అంటే 3
ఫిబ్రవరి 24 వరకు గల రోజుల సంఖ్య 55 ( జనవరి 31 + ఫిబ్రవరి 24).
55 ని 29.5 తో భాగిస్తే శేషం 25.5 . ఇందులో పూర్ణాంకం 25. 25 కి జనవరి 1 న తిథి 3 కలిపితే 28, అంటే బహుళ త్రయోదశి.
ఈ విధంగా నిర్ణయించిన తిథి సాధారణంగా సూర్యాస్తమయ సమయానికి ఉంటుంది. సూర్యోదయవేళ తిథి తీసుకోవాలంచటే శేషంలో 1 తీసివేయాలి.
ఇద కేవలం mathematical గా రూపొందించినది.
మీ జన్మ సంవత్సరం తిథిని ఈ విధానంతో లెక్కించి సమాధానం సరిగ్గా వచ్చినదీ లేనిదీ మీరు పరీక్షకు పెట్టి చెప్పండి.

కచటతపయ

కచటతపయ”

కచటతపయ – లు ఆరుగురు గణితంలో మంచి ప్రతిభ కలవారు. కవుల మాదిరిగానే నానారాజ సందర్శనం చేసి తమ ప్రతిభను ప్రదర్శించి వారిచ్చిన పారితోషికాలతో జీవనం కొనసాగించేవారు.
ఒకసారి ఒక రాజాస్థానంలో పృచ్ఛకులు ఇచ్చిన సమస్యలకు చక్కని సమాధానాలు చెప్పి అందరిని అలరించారు. రాజుగారు మంత్రి వైపు సాలోచనగా చూసి తల పంకించారు. మంత్రి వెంటనే వరహాలున్న రెండు సంచులను తెప్పింతి ఒక సంచి కచటతపయ లకు ఇచ్చి ఇలా అన్నాడు..-
” మీరు ఆరుగురు ఒకరికి మరొకరు తీసిపోని విద్వాంసులు . అందుకని మీ ఆరుగురికి సమానమైన పారితోషికం ఇవ్వాలని అన్నారు ప్రభువుల ఆకాంక్ష. అందుకని 984 వరహాలను రెండు సమానమైన భాగాలు చేసి ఒక భాగం ( 492 వరహాలను) మీకిస్తున్నాను. మీకిచ్చిన భాగంలోని వరహాలను నేను చెప్పిన షరతులకు లోబడి మీరు పంచుకొని చూపిస్తే మిగిలిన 492 వరహాలను మీకు ఇవ్వబడతాయి. మీకు అంగీకారమేనా? ” అని.
కచటతపయ లకు ముందర కొంచెం అసంతృప్తి కలిగినా ధైర్యంగా సరే నన్నారు.
మంత్రి విధించిన షరతులు ఇవి:

1. మీరు పంచుకున్న వాటాల సంఖ్యలు ఒక అంక శ్రేఢి ( Arithmetical Progression ) లో ఉండాలి.
2. అంతే కాదు, ఒక్కొక్కరికి వచ్చిన వాటాల సంఖ్యలు అభేద్యసంఖ్య (Prime Numbers ) లు గా ఉండాలి.

మొదట్లో కొంచెం సంకోచించినా మంత్రి గారి షరతులకు లోబడి ఆ 492 వరహాలను కచటతపయ లు అర్ధగంట వ్యవధిలో పంచుకొని మంత్రిగారికి పంచుకున్న వివరాలను చెప్పారు.

మంత్రి సంతోషించి మిగిలిన 492 వరహాలను సభికుల కరతాళధ్వనుల మధ్య కచటతపయ లకు అందజేసారు.

అయితే ప్రశ్న :
ముందర ఇచ్చిన 492 వరహాలను “కచటతపయ” లు షరతులకు లోబడి ఏ విధంగా పంచుకున్నారు

 

 

 

గుణకారము

గుణకారం (multiplication).

 

ఆ మధ్య ‘భారతి’ మాసపత్రిక 1950 దశకం పాత సంచికల్లో ఒక వ్యాసం కంట బడింది.
విషయం ” ఆఫ్రికన్ దేశాల సాహిత్య, సంస్కృతుల చరిత్ర”. అందులో అక్కడి నల్ల జాతులవారు గణితంలో గుణకారం చేసే ప్రక్రియను రచయిత ఉదహరించడం జరిగింది . బహుశా ఈ విధానం మనలో చాల మందికి తెలుసున్న విషయమే అయినా నాకు ఈ మధ్యే తెలిసింది కాబట్టి నాకు విచిత్రం అనిపించింది. చూసి నవ్వకండి. అక్కడి వారు ( అప్పట్లో చీకటి ఖండం లోని వారు) గుణకారం (multiplication) చేసే నమూనా ఇది:
17 X 24

17 – 24
8 – 48
4 – 96
2 – 192
1 – 384
జవాబు 384 + 24 = 408

వివరణ : ఎడమ వైపు సంఖ్యలను సగం చేసుకుంటూ రావాలి. కుడివైపు వాటిని రెట్టింపు చేసుకుంటూ పోవాలి. 17 లో సగం 8. దానికి ఎదురుగుండా 24 కి రెట్టింపు 48 వేయాలి. మరల 8 లో సగం 4. దానికి ఎదురుగా 48 కి రెట్టింపు 96. ఈ విధంగా ఎడమవైపున 1 వచ్చే వరకు ఈ ప్రక్రియ కొనసాగించాలి.
ఇప్పుడు ఎడమవైపు వచ్చిన సరి సంఖ్యల విలువలను వదిలి పెట్టాలి. అంటే 8, 4, 2 లకు సంబంధించిన 48, 96, 192 లను విస్మరించాలి. ఇక కుడివైపున మిగిలిన 24 , 384 లను కూడితే వచ్చిన మొత్తం 408. అది 17, 24 ల లబ్ధమే కదా.

( ఎప్పుడూ ఎడమ వైపున బేసి సంఖ్యలకు ఎదురుగా ఉన్న విలువలను మాత్రమే కూడాలి)

మరొక ఉదాహరణ:

21 x 37

21 – 37
*10 – 74
5 – 148
*2 – 296
1 – 592
జవాబు: కుడివైపు సంఖ్యలు : 37 + 148 + 592 = 777
* ( 10, 2 సరి సంఖ్యలైనందున వాటి విలువలు 74, 296 లు విస్మరించ బడ్డాయి)

మీకేమో గాని నాకు మాత్రం గమ్మత్తుగానే ఉందీ పద్ధతి .

The untouchables ( అస్పృశ్యులు)

The Untouchables. (అస్పృశ్యులు)

గణిత లోకంలో మొదటి వరసలో ఉండేవి prime సంఖ్యలే. ఇవంటే ఎందుకో గణితజ్ఞులకు వల్లమాలిన ప్రేమ. అలాగే perfect numbers – వాటి జనాభా తక్కువైనా వాటి మీద కూడ వీరికి మోజు ఎక్కువ. Perfect numbers గురించి మరోసారి గుర్తు చేస్తాను. 28 కి గల కారణాంకాలు 1, 2, 4, 7, 14. వీటి మొత్తం (1 + 2 + 4 + 7 + 14) మరల 28. ఇలాంటి గుణాలున్న అంకెలను perfect numbers అంటారు.
మనకి ఇంకా దగ్గర లో ఉన్న మరో perfect number 6.(1+2+3)
అలాగే amicable pairs మీద కూడ వారికి వాత్సల్యం ఎక్కువ.
అలాంటి ఒక అన్యోన్యపు జంట amicable pair: (220, 284).
220 ని భాగించగల సంఖ్యలను కూడితే 284 వస్తుందట. అలాగే 284 ని భాగించగల సంఖ్యలను కూడితే 220 వస్తుందట. ఇలాంటి జంటలు అంకెల ప్రపంచంలో చాల అరుదుగా కనిపిస్తాయి.
220 కి గల కారణాంకాలు ( 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110). వీటి మొత్తం 284.
284 కి గల కారణాంకాలు ( 1, 2, 4, 71, 142). వీటి మొత్తం 220.
ఈ amicable pairs గురించి వివరాలు ఇప్పుడు కాదు, మరొక రోజున వివరంగా ముచ్చటించు కుందాం.

ఇలాంటి ఎన్నో శ్రేణుల అట్టడుగున కనపడేవి untouchables.
ఉదాహరణకు ఈ అస్పృశ్యుల శ్రేణిలో ఒక సంఖ్య 88. నిజమా, ఏవిధంగా? అని అడిగారనుకోండి, కారణం చెప్పాలి కదా.
సంఖ్యామానంలో ఏ సంఖ్య తీసుకున్నా, వాటి కారణాంకాల మొత్తం కూడితే 88 ఎప్పుడూ రాదు.
80 కి కారణాంకాలు 1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 40. వాటి మొత్తం 88 కాదు. పోనీ 84 తీసుకుందాం. దాని కారణాంకాలు 1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42. వీటి మొత్తం కూడ 88 కాదు. ఇదే కాదు మరే సంఖ్య నేదైనా ఉందేమో ప్రయత్నించి చూడండి. వాటి కారణాంకాల మొత్తం 88 కి సమానం ఎప్పుడూ అవదు.
అంటే పాపం 88 తో స్నేహం చేయడానికి ఏ సంఖ్యలు సుముఖంగా లేవు – నన్ను ముట్టుకోకు నామాల కాకి అంటూ.
కాని 20 ని చూడండి., అది అస్పృశ్య కాదు. 34 కి గల కారణాంకాల ( 1 +2 + 17) మొత్తం 20.
పోనీ 21 చూడండి. అది 18 యొక్క కారణాంకాల మొత్తమే కదా! ( 1 + 2 + 3 + 6 + 9 = 21).
ఈ విధంగా ప్రతిసంఖ్యను క్షుణ్ణంగా పరిశీలించాక గణితజ్ఞులు సంఖ్యామానంలో ఇటువంటి అస్పృశ్యులు చాలా ఉన్నట్లు నిర్ణయానికి వచ్చారు. వాటిలో కొన్ని:
2, 5, 52, 88, 96, 120, 124, 162, 188, 206, 210, 216, 238…
గమనించారో లేదో, ఈ శ్రేణిలో మొదటి 2, 5 మాత్రమే ప్రైమ్ సంఖ్యలు. మిగిలిన అన్ని సంఖ్యలు సరి సంఖ్యలే. 2, 5 తర్వాత 52 వచ్చేవరకు మధ్యలో ఎక్కడా అస్పృశ్య లేదు.
5 తప్ప మరే సంఖ్య lucky number కూడ కాదు.
ఈ అస్పృశ్యులలో ఏ సంఖ్య కూడ ఏ ప్రైమ్ సంఖ్యను దాటి ఒక అడుగో లేక మూడు అడుగులో ముందు నిలబడి ఉండదు. సూత్రబద్ధం గా చెప్పాలంటే
p + 1 is not equal to Un or
p +3 is not equal to Un ( where p is the prime number and Un is the untouchable number)

కాని, ఆస్పృశ్య సంఖ్య తరచుగా prime number కంటె ఒక అడుగు వెనకే ఉంటుంది.
(inferiority complex తో)

….47, (52), , 53, 59, 61, …… 83, (88), 89, (96) , 97, 101, …. 157, (162), 163, 167….
చూసారు కదా brackets లోని అస్పృశ్య సంఖ్యలు ఎప్పుడూ ప్రక్కనే ఉన్న prime numbers కంటె ఒక అడుగు వెనకనే నిలబడి ఉండడం!

230, 231

230, 231

ఈ రెండు వరుస సంఖ్యలు. ప్రైమ్ సంఖ్యలు కావు. కాని ఈ రెండు వరుస సంఖ్యలకు ప్రత్యేక లక్షణం ఒకటి ఉంది.
230 = 2 x 5 x 23
231 = 3 x 7 x 11
వీటికి గల కారణాంకాలు అన్నీ ప్రైమ్ సంఖ్యలే.
ఇవి కారణాంకాలు అన్నీ ప్రైమ్ సంఖ్యలుగా కలిగిన తొలి వరుస సంఖ్యలు.
” తొలి” అన్నాం కాబట్టి ఇటువంటి లక్షణం కలిగిన వేరే వరుస సంఖ్యలు ఉన్నాయనే కదా అర్థం.
అవి – 285, 286.

285 = 3 x 5 x 19
286 = 2 x 11 x 13

ఇలాంటి గుణం కలిగిన మూడు వరుస సంఖ్యలు కూడ సంఖ్యామానంలో ఉన్నాయి.
ఒక ఉదాహరణ:
1309, 1310, 1311

1309 = 7 x 11 x 17
1310 = 2 x 5 x 131
1311 = 3 x 19 x 23

1/ 989,999

989,999

దీని విలోమం : 1/ 989,999
= 0. 000, 001, 001, 002, 003, 005, 008, 013, 021, 034, 055, 089, 144, 233, 377, 610……

దీని లోని సున్నాలను తొలగించి సంఖ్యలను సర్దితే వచ్చే శ్రేణి ఇది:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610……

ఓహ్. అద్భుతం!
అవును, Fibonacci sequence కూడ ఇదే !

* ******. *********. *********. *************

Fibonacci శ్రేణి గురించి మరి కొన్ని విశేషాలు.
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181….

ఒక సంఖ్య మరో సంఖ్యను భాగించే ఏవైనా రెండు సంఖ్యలను తీసుకుందాం.
5, 15, (15 ని 5 భాగిస్తుంది)
ఇప్పుడు Fibonacci series లోని 5 వ term ( F5) = 5.
అలాగే 15 వ term (F15) = 610.
F15 / F5 = 610/5 = 124. ( F15 is divisible by F5)

మరో ఉదాహరణను తీసుకందాం.
8, 16 ( 16 ని 8 భాగిస్తుంది)
8 వ term F8 = 21
16వ term F16 = 987
Is F16 is divisible by F8?
Yes. ( 987/21 = 47)

*****. ********. **************

Fibonacci series లో 233 ఒక prime number.
ఈ శ్రేణిలో ఇది F13, గమనించారో లేదో 13 కూడ prime number.
అలాగే 1597 కూడ Prime number. అది F 17.
దాని subscript number 17 కూడ prime number కావడం చూశారు కదా!
అయితే ఆరంభంలో ఒక్క మినహాయింపు తప్ప ఈ rule పనిచేస్తుంది.
3 prime సంఖ్య అయినప్పటికీ అది F4.
F4 లోని subscript number 4 ప్రైమ్ కాదు.

మరొక విషయ కూడ ఉంది. దీని విపర్యయం అన్ని వేళలా పని చేయదు.
F19 లోని subscript number 19, ప్రైమ్ సంఖ్యే. కాని శ్రేణిలోని F19 = 4181.
4181 ప్రైమ్ కాదు. ( 37 x 113= 4181)
So, all Fibonacci prime numbers have Fibonacci prime number subscript,
but not all Fibonacci prime number subscripts yield a Fibonacci prime number.
Got it?

శేషప్రశ్నలు – సమాధానం

శేష ప్రశ్నలు – సమాధానం

శేషప్రశ్న అనగానే చిన్నప్పుడు చదివిన శరత్ బాబు నవల, అందులో కమల పాత్ర గుర్తుకు రావడం సహజం. కాని ఇప్పుడు ఈ శేషప్రశ్నలు గణితానికి సంబంధించినవి. గణితం అనగానే శుష్కమైన విషయంగానో లేక తలనొప్పి తెచ్చే సమస్య గానో భావించకండి. చెప్పబోయే విషయం గమ్మత్తైనది. ఆశ్చర్యం కలిగించేది కూడ. మానవ మస్తిష్కం సునిశితంగామానవ ప్రకృతిని అధ్యయనం చేసి అనేక రహస్యాలను చెప్పే విధంగానే, మనిషి బుద్ధి శుష్కమైన అంకెలను కిందా మీద వేసి వాటి గొప్ప తనాన్ని ప్రత్యేక వ్యక్తిత్వాలను ఆవిష్కరిస్తుంది.
అసలు విషయానికి వస్తాను. జోర్డాన్ దేశంలో Gerasa ( Jerasa) నగరంలో క్రీ. శ. రెండో శతాబ్దంలో ఒక ఒక గణితబ్రహ్మ ఉండేవాడు. అతని పేరు నికోమాషస్( Nicomachus). ఆ గణిత బ్రహ్మకు అంకెలంటే వల్లమాలిన అభిమానం. అతి తెలివిగలవాడు. దారిని వచ్చి పోయేవారిని కొన్ని ప్రశ్నలు వేసి వారిని ఉబ్బితబ్బిబ్బలు చేస్తూండేవాడు. తమ మనసులోని విషయాన్ని అతడు అంత నిక్కచ్చిగా ఎలా చెప్పగలుగు తున్నాడా అని జనం ఆశ్చర్య పోయేవారట.
అతను వేసే ప్రశ్నలు ఏమిటో చెప్తాను. ఈ గణిత పొడుపు కథను మీరూ మీ మిత్రుల నడిగితే వారిని మీరూ ఆశ్చర్య చకితులను చెయ్యవచ్చు.

మీ మిత్రుణ్ణి 10 కి 99 కి మధ్య ఏదైనా రెండంకెల సంఖ్యను మనసులో తలచుకొమ్మనండి. ఆ సంఖ్యను 3 తో భాగిస్తే మిగిలే శేషం చెప్పమనండి. అలాగే 5 తో భాగిస్తే మిగిలే శేషమూ, 7 తో భాగిస్తే మిగిలే శేషమూ చెప్పమనండి. ఈ మూడు శేషాలు తెలుసుకొని వాటి ఆధారంగా మీరు మీ మిత్రుడు తన మనసులో తలచుకున్న సంఖ్యని బయటపెట్టగలిగారను కోండి – నిజంగా అది అబ్బురం కలిగించే విషయమే కదా. ఈ సమస్యకు చిట్కా కనిపెట్టినవాడు Nicomachous. అదెలాగో ఉదాహరణ పూర్వకంగా చెప్తాను.

మీ మిత్రుడు 66 తలచు కున్నాడను కుందాం.

ఆ సంఖ్యను 3, 5, 7 లతో భాగించి శేషాలెంతో చెప్ప్పమంటే అతను వరుసగా
0, 1, 3 అని చెప్తాడుకదా. అప్పుడు ఆ శేషాలను వరుసగా 70, 21 , 15 లతో గుణించి కూడండి.
( 70 x 0 + 21 x 1 + 15 x 3) = 66. అదే మీ మిత్రుడు మనసులో తలచుకున్న సంఖ్య కదా.

మరో ఉదాహరణ:
తలచుకున్న సంఖ్య; 37

దీనిని వరుసగా 3, 5, 7 లతో భాగిస్తే మిగిలే శేషాలు వరుసగా 1, 2, 2 కదా. వీటిని వరుసగా 70, 21, 15 లతో గుణించి వాటి లబ్ధాలను కలుపుదాం. ( 70 x 1 + 21 x 2 + 15 x 2) = 142. ఇది మూడంకెల సంఖ్య, పైగా 99 ని దాటిన సంఖ్య. అందుకని ఇందులోంచి 105 ని మైనస్ చేయమంటాడు మన గణితబ్రహ్మ నికోమాషస్ . అప్పుడు 142 – 105 = 37, ఇది తలచుకున్న సంఖ్యే కదా.

చివరగా ఆఖరి ఉదాహరణ:
తలచుకున్న సంఖ్య: 89.

3, 5, 7 లతో భాగిస్తే వరుసగా 2, 4, 5 శేషాలు వచ్చాయి.
ఇప్పుడు వరుసగా 70, 21, 15 లతో గుణించి వాటి లబ్ధాలను కూడితే
( 70 x 2 + 21 x 4 + 15 x 5 ) = 299.
ఇందులోంచి 105 ని ఒకమారు మైనస్ చేస్తే సరిపోదు. రెండుసార్లు చేయాలి.
అంటే 299 -105 -105 = 89, తలచుకున్న సంఖ్య.

105 సంఖ్య కు చాల ప్రాముఖ్యం ఈ పొడుపు కథలో – గుర్తుంచుకోవాలి.

మీరు మీ పిల్లలతోనో లేక మీ మిత్రులతోనో ఈ పొడుపుకధను వేసి చూడండి.
(క్లూ చెప్పకండి మజా ఉండదు)

మీరు నన్ను మాత్రం ఈ (70, 21, 15 ) ల గురించి గాని 105 గురించిగాని వివరాలు అడగొద్దు.
అవి నికోమాషస్ కి మాత్రమే తెలుసు. నాకు చెప్పలేదు , Sorry.